Sala 203, Bloco B
A sessão temática “Estabilidade para problemas de evolução” é dedicada à estabilidade de problemas modelados pelas EDPs, dentre outros aspectos relevantes relacionados a problemas de evolução. Os tópicos abordados incluirão resultados recentes no que concerne ao comportamento assintótico de problemas de evolução, tais como, estabilização, controlabilidade, atratores.
Esperamos que esta sessão propicie um ambiente favorável para os especialistas discutirem e colaborarem em problemas de interesse mútuo.
Coordenadora da sessão: Valéria Neves Domingos Cavalcanti (UEM)
Palestrantes:
Dia 08/04 (segunda-feira):
13:00 – 13:30: Decaimento exponencial para equações acopladas de Klein-Gordon-Schrödinger com dissipação localmente distribuída
Janaina Pedroso Zanchetta (Unesp – Ilha Solteira)
Resumo: Neste trabalho trabalho estudaremos a existência, unicidade e decaimento uniforme do seguinte sistema de Klein-Gordon-Schrödinger,
$$
\left\{\begin{array}{l}
i \psi_t+\Delta \psi+i \alpha b(x)(-\Delta)^{\frac{1}{2}} b(x) \psi=\phi \psi \chi_\omega \text { em } \Omega \times(0, \infty), \\
\phi_{t t}-\Delta \phi+a(x) \phi_t=|\psi|^2 \chi_\omega \text { em } \Omega \times(0, \infty), \\
\psi=\phi=0 \text { em } \Gamma \times(0, \infty), \\
\psi(0)=\psi_0 \in H_0^1(\Omega) \cap H^2(\Omega), \\
\phi(0)=\phi_0 \in H_0^1(\Omega) \cap H^2(\Omega), \\
\phi_t(0)=\phi_1 \in H_0^1(\Omega) .
\end{array}\right.
$$
onde $\Omega$ é um domínio limitado de $\mathbb{R}^2$ com fronteira $\Gamma$ suave e $\omega$ é um subconjunto aberto de $\Omega$ tal que medida$(\omega)>0$, e satisfazendo a condição geométrica de controle. No que segue, $\alpha$ é uma constante positiva e $\chi_\omega$ representa a função característica, isto é, $\chi_\omega=1$ em $\omega$ e $\chi_\omega=0$ em $\Omega \backslash \omega$. Consideremos $a, b \in W^{1, \infty}(\Omega) \cap C^{\infty}(\Omega)$ funções não negativas tais que
$$
\begin{array}{r}
a(x) \geq a_0>0 \text { em } \omega, \\
b(x) \geq b_0>0 \text { em } \omega,
\end{array}
$$
de modo que a não linearidade $\psi$ existe onde os termos de dissipação
$$
a(x) \phi_t \quad \text { e } i \alpha b(x)(-\Delta)^{\frac{1}{2}} b(x) \psi
$$
são, de fato, efetivos e reciprocamente. Se a dissipação é efetiva em todo domínio, isto é, $a(x) \geq a_0>0$ em $\Omega$ e $b(x) \geq b_0>0$ em $\Omega$, podemos considerar $\chi_\omega=1$ em $\Omega$.
13:30 – 14:00: Atrator para uma classe de equações de placas com coeficiente da dissipação dependente da energia do sistema
Vando Narciso (UEMS)
Resumo: Este trabalho trata da boa colocação e comportamento assintótico de uma equação da viga do tipo Balakrishnan-Taylor com dissipação ficcional cuja intensidade é dada por um coeficiente não local que depende da energia do sistema. A existência e unicidade de solução são estabelecidas via teoria de semigrupos de operadores lineares. No resultado principal mostramos que o sistema dinâmico gerado pelas soluções fracas do problema possui um atrator global compacto.
14:00 – 14:30: Extremal curves for existence of positive solutions for multi-parameter elliptic systems in $\mathbb{R}^N$
Ricardo Lima Alves (UFAC)
Resumo: This paper concerns in building an extremal curve with respect to the parameters $\lambda, \mu \geq 0$ for existence and multiplicity of positive radial solutions for the multi-parameter elliptic system
$$
\left\{\begin{array}{l}
-\Delta u=\lambda w(x) f_1(u) g_1(v) \text { in } \mathbb{R}^N, \\
-\Delta v=\mu w(x) f_2(v) g_2(u) \text { in } \mathbb{R}^N, \\
u, v>0 \text { in } \mathbb{R}^N \text { and } u(x), v(x) \xrightarrow{|x| \rightarrow \infty} 0,
\end{array}\right.
$$
where $f_i, g_i \in C(\mathbb{R},(0, \infty))(i=1,2)$ satisfy some technical conditions, $w$ is a vanishing positive potential at infinity and $N \geq 3$. The principal difficulties in approaching our problem come from the fact that it may not have the variational structure and the construction of an associated compact operator. By tanking advantage of the spectral theory of a related problem treated in [1] and introducing appropriated functions spaces, we are able to prove our principal results by using topological arguments.
Dia 09/04 (terça-feira):
14:00 – 14:30: Taxa de decaimento uniforme para um sistema acoplado semilinear na onda
Adriana Flores de Almeida (UNILA)
Resumo: Consideramos um sistema acoplado semilinear da onda posto em um meio não homogêneo, sujeito a uma dissipação não linear localmente distribuída, que satisfaz a Condição Geométrica de Controle. Mostramos a existência de solução fraca e, além disso, mostramos que a energia associada ao sistema decai uniformemente para zero desde que os dados iniciais sejam tomados em conjuntos limitados no espaço fase. O modelo proposto, é uma extensão para sistemas da equação introduzida por Cavalcanti et. al. em [1].
14:30 – 15:00: Um modelo de grafos quânticos para o grafeno
Vinícius Lourenço da Rocha (Unesp – Ilha Solteira)
Resumo: Apresentamos neste trabalho uma modelagem matemática para o grafeno baseada em grafos periódicos, proposta por Kuchment e Post. Tal modelo de grafos apresenta maior simplicidade técnica quando comparado ao modelo contínuo. Isto permite realizar a análise espectral do grafeno nessas condições, além de extrair, de forma explícita, a relação de dispersão (como os valores espectrais dependem do quasimomento). Através desta relação, é possível provar a existência dos Cones de Dirac, que é uma das principais propriedades físicas apresentadas pelo grafeno.
15:00 – 15:30: Análise espectral no plano
Alessandra Verri (UFSCar)
Resumo: Considere o operador Laplaciano de Dirichlet em faixas bidimensionais. No caso de faixas limitadas é conhecido que seu espectro é puramente discreto. A situação muda no caso de faixas ilimitadas. Por exemplo, em uma faixa reta infinita o operador possui espectro puramente essencial, ou seja, não possui autovalores discretos. O objetivo é mostrar que determinadas deformações locais em uma faixa reta infinita conseguem manter a estrutura do espectro essencial e criar autovalores discretos.
16:00 – 16:30: On the stabilization by memory effects: Kirchhoff versus Bernoulli
María Rosario Astudillo Rojas (UFPR)
Resumo: In this talk, we discuss the asymptotic behavior of the solutions of a dissipative coupled system where we have the interactions between a Kirchhoff plate and an Euler-Bernoulli plate. The dissipative mechanism is given by a fractional memory term that depends on a parameter varying strictly between 0 and 1. We deduce that, when the memory term acts in both equations, the best decay rate of the system is given by the worst decay rate of the uncoupled system. On the other hand, when acting only in one equation, the memory effects in the Euler-Bernoulli equation dissipate the system more slowly than memory effects in the Kirchhoff equation.
16:30 – 17:00: Teoria dos Valores Extremais para Problemas Variacionais Paramétricos
Kaye Silva (UFG)
Resumo: Sejam $I$ um intervalo aberto da reta, $\lambda\in I$ e $\varphi_\lambda\in C^1(X)$ um funcional definido em um espaço de Banach $X$. Em muitos problemas de Cálculo das Variações estamos interessados em encontrar os pontos críticos de $\varphi_\lambda$ e a dependência desses pontos críticos com respeito ao parâmetro $\lambda$. Durante o século 20 várias técnicas foram desenvolvidas para esse estudo, sendo uma das mais famosas o teorema de bifurcação de Rabinowitz, que essencialmente consiste no uso do Teorema da Função Implícita. Nesse trabalho pretendemos apresentar um pouco sobre a técnica dos valores extremais introduzida pelo Professor Yavdat Il’yasov.
17:00 – 17:30: Testes de independência total e parcial imersos em espaços de Hilbert
Jean Carlo Guella (UEMS)
Resumo: Para conjuntos $X_1, \ldots, X_n$, quais funções podemos utilizar como teste de independência no cartesiano $\mathbb{X}_n:=\times_{i=1}^n X_n$, mais precisamente para quais funções $\mathfrak{I}: \mathbb{X}_n \times \mathbb{X}_n \rightarrow \mathbb{R}$ vale que (tanto no caso contínuo como discreto)
$$
\int_{\mathbb{X}_n} \int_{\mathbb{X}_n} \mathfrak{I}(x, y) d\left[ P-\otimes_{i=1}^n P_i\right](x) d\left[ P-\otimes_{i=1}^n P_i\right](y)>0
$$
sempre que $P \neq \otimes_{i=1}^n P_i$. Para tanto, ao nos restringirmos um pouco mais nas funções e supormos que a função $\mathfrak{I}$ é capaz de diferenciar quaisquer duas probabilidades que possuam as mesmas marginais (e não apenas de uma especifica, no caso o produto delas), obtemos naturalmente o conceito de núcleos positivos definidos independentes. Tais núcleos podem ser definidos de maneira mais geral, com um coeficiente $0 \leq k \leq n$, aonde o caso $k=2$ é o de independência descrito acima, o caso $k=1$ esta relacionado como conceito de condicionalmente negativo definido (ou Energy Distance) [4], o caso $k=0$ esta relacionado com o conceito de positivos definidos (ou Maximun Mean Discrepancy(MMD)) [2], e o caso $k=n$ é uma generalização do conceito de Distance Covariance para varias variáveis como em [1].
Apresentamos algumas propriedades sobre tais funções, sua relação com espaços de Hilbert de reprodução e uma generalização do Teorema de Schoenberg/Von-Newman das funções completamente monótonas e de funções de Bernstein para este contexto [3].